新・自然単位系：プランク単位系の先へ

自然単位系の思想

自然単位系とは、1900年にマックス・プランクが提唱した「文明・観測者・測定環境に依存しない、万物に共通の単位系」という思想に端を発します。プランク単位系は、光速 c、プランク定数 ħ、万有引力定数 G、ボルツマン定数 kB をすべて「1」と定義することにより、プランク長・プランク時間・プランク質量・プランク温度がすべて「1」となる単位系です。

\[ \ell_{\mathrm{P}}=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^{3}}} \] \[ t_{\mathrm{P}}=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^{5}}} \] \[ m_{\mathrm{P}}=\sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \] \[ T_{\mathrm{P}}=\sqrt{\frac{\hbar c^{5}}{G\,k_{\mathrm{B}}^{2}}} \]

これは、物理法則を人為的単位から切り離そうとする、極めて美しい発想でした。しかし同時に、これらの定数の組み合わせが物理的に何を意味しているのかは、必ずしも明確ではありません。また実際の物理学では、分野ごとに「何を1とするか」は異なり、自然単位系は一意には定まっていません。私たちはこのプランク単位系の思想を継承しつつ、物理的解釈を内包した新しい自然単位系を提唱します。

Space-Time Unit（ST単位系）

物理学の発展過程において、kilogram と coulomb が先に定義され、それらの整合性を保つために、万有引力定数 G、真空の誘電率 ε₀、真空の透磁率 μ₀ が後から導入されました。しかし、ニュートンの万有引力の法則およびクーロンの法則に現れる G, ε₀, μ₀ の役割を次元的に再検討すると、kilogram と coulomb という単位は、それぞれ kg → m³/s²、C → m²/s　という時空量の派生単位であることが分かります。私たちは、この単位体系を Space-Time（ST）単位系と総称します（Reference参照）。

SI単位からST単位への変換

ST単位系では、kilogram と coulomb は、それぞれ μ変換子および ε変換子によって変換されます。SI単位の電子質量 mₑ と素電荷 e を、ST単位の電子質量 m₀、素電荷 e₀ に変換すると次式を得ます。

\[ m_0 = \mu m_e, \quad \mu = \frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{e c}{m_e}\right)^2 \] \[ e_0 = \varepsilon e, \quad \varepsilon = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{e c}{m_e} \]

万有引力定数 G は分母に kilogram を含むため、ST単位系では無次元定数 β₀に変換されます。

$$ \beta_0 = \frac{G}{\mu} $$

また、真空の誘電率 ε₀ と真空の透磁率 μ₀ は、幾何と定義定数である光速 c のみで表されるため、ST単位系では敢えて新しい記号は付与しません。

$$ \varepsilon_0 \, \frac{\varepsilon^2}{\mu} = \frac{1}{4\pi c^2}, \qquad \mu_0 \, \frac{\mu}{\varepsilon^2} = 4\pi $$

ST単位の無次元定数

無次元定数 β₀ は、微細構造定数の逆数 α₀ と並び、異なる物理領域の比率を定義する重要な定数です。私たちは β₀ を Gravitational–Electromagnetic Ratio と呼びます。

Gravitational–Electromagnetic Ratio

$$ \beta_0 = \frac{G m_e^2}{k e^2} = \frac{\beta_0 m_0^2}{c^2 e_0^2} $$

※ ここで $k$ はクーロン定数 $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ を表します。

対称性の観点から、微細構造定数の逆数 α₀ をQuantum–Electromagnetic Ratio と総称します。

Quantum–Electromagnetic Ratio

$$ \alpha_0 = \frac{\hbar c}{k e^2} = \frac{\alpha_0 \hbar_0 c}{c^2 e_0^2} $$

プランク定数のST変換

ST単位系において ħ に α₀ を吸収させることも可能ですが、Gravitational–Electromagnetic Ratio との対称性を保つため、ST自然単位系では ħ₀ と α₀ を切り分けます。したがって、ST単位系におけるプランク定数は

$$ \hbar_0 = \hbar \, \mu \, \alpha $$

と定義されます。

ST単位系における物理量の生成構造

結果としてST単位系では、素電荷 e₀ と光速 c のみから、すべての物理単位を構成できます。この構造において光速 c は単なる定数ではなく、作用子のように振る舞いながら物理量の階層を形成します。

Quantity	Expression	Unit
Time	e₀ c^-2	s
Length	e₀ c^-1	m
Charge	e₀	m² / s
Mass	e₀ c	m³ / s²
Momentum	e₀ c²	m⁴ / s³
Energy	e₀ c³	m⁵ / s⁴

Length（e₀c⁻¹）は必然的に古典電子半径 r₀ と一致し、Time（e₀c⁻²）は、光速で古典電子半径を進む時間 t₀ に対応します。この基本長と基本時間から、光速c, 素電荷e₀, 電子質量m₀, プランク定数ħ₀, 電子質量エネルギーE₀ = m₀c²が必然的に定まります。

Constant	Expression	Unit
c	r₀ / t₀	m / s
e₀	r₀² / t₀	m² / s
m₀	r₀³ / t₀²	m³ / s²
ħ₀	r₀⁵ / t₀³	m⁵ / s³
E₀ = m₀c²	r₀⁵ / t₀⁴	m⁵ / s⁴

ST自然単位系

したがって、基本長 r₀ と基本時間 t₀ を「1」と定義するだけで、光速・素電荷・電子質量・プランク定数・電子質量エネルギーが同時に「1」となる自然単位系が構成されます。

古典電子半径を基準長とする合理性

基準長として古典電子半径 r₀ を採用すると、主要な物理定数は微細構造定数の逆数のべき乗として表されます。

Quantity	Value
Classical electron radius	1
Compton length	2π α₀
Bohr radius	α₀²
Inverse Rydberg constant	4π α₀³

このようにST自然単位系では、物理的意味を失うことなく、自然な形で基本物理定数が「1」となり、物理法則は幾何構造と無次元定数 α₀ および β₀ のみによって記述されます。

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Reference

※ 本ページは、理論の入口としての要約です。数式の詳細・体系的議論は上記文献をご参照ください。

Space-Time Unit System for Unifying Gravitational Mechanics, Electromagnetism and Quantum Physics